Cours 6ème : PROPORTIONNALITE
Objectifs : - être capable de reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité.
- être capable de traiter les problèmes de proportionnalité soit :
- en utilisant un rapport de linéarité
- en utilisant un coefficient de proportionnalité
- en utilisant la règle de trois
- être capable d'appliquer un taux de pourcentage.
- Pour reconnaître une situation de proportionnalité dans un tableau, on choisit une ligne puis on divise chacun des nombres de cette ligne par les nombres de l'autre ligne. Si on trouve toujours le même résultat, il s'agit d'une situation de proportionnalité. Le nombre trouvé est appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple : Chez un boucher, on lit les tarifs suivants :
| Nombre de rôtis | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Prix ( en euros) | 10 | 20 | 30 | 35 |
Si on divise les nombres de la deuxièmes ligne on obtient:
10 : 1 = 10 pour la première colonne
20 : 2 = 10 pour la deuxième colonne
30 : 3 = 10 pour la troisième colonne
35 : 4 = 8,75 pour la quatrième colonne
On remarque que les quatre nombres trouvés ne sont pas les mêmes ( trois 10 et un 8,75 ). Donc ici, la situation n'est pas proportionnelle.
On peut penser que le boucher a fair une remise de 5 euros pour l'achat de quatre rôtis.
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- Pour traiter un problème de proportionnalité on peut utiliser un rapport de linéarité.
Exemple de problème : La voiture de Marc consomme 5 litres de gasoil pour parcourir 100 Km.
1) Quelle est sa consommation pour 200 Km ?
2) Quelle distance peut-elle parcourir avec 15 litres ?
3) Quelle distance peut-elle parcourir avec 2O litres ?
Remarque : Dans ce problème, on suppose implicitement que les deux grandeurs en jeu , litre et kilomètre, sont proportionnelles.
Avec la linéarité additive :
Un élève peut répondre à la question 3) si il a déja répondu à la question 2) c'est-à-dire que si la voiture parcoure 100 km avec 5 litres de gasoil elle parcoura avec 15 litres de gasoil ( 3 x 5 litres) 300 km ( 3 x 100 km).
Question 3) 2O litres c'est 5 litres + 15 litres donc avec 20 litres la voiture parcoura 100 Km + 300 Km soit 400 Km.
Avec le rapport de linéarité ou la linéarité multiplicative :
Un élève peut répondre à la question 1) 200km c'est 2 x 100 km . Donc la voiture consommera 2 fois plus de gasoil soit 2 x 5 litres c'est à dire 10 litres.
- Pour traiter un problème de proportionnalité on peut utiliser un coefficient de proportionnalité.
Un élève peut répondre à la question 2) 100 c'est 20 fois plus que 5. Donc on a toujours 20 fois plus de km que de litres. Donc avec 15 litres la voiture parcoura 20 x 15 soit 300 km.
- Pour traiter un problème de proportionnalité on peut utiliser la règle de trois ou la quatrième proportionnelle ou l'image de l'unité.
L'élève peut répondre aux questions 2) et 3) en se disant que 1 litre c'est 5 fois moins que 5 litres. Donc avec 1 litre la voiture peut parcourir 5 fois moins que 100 km soit 20 km. Ainsi pour la question 2) la voiture peut parcourir avec 15 litres 15 x 20 soit 300 km.
Pour la question 3) la voiture peut parcourir avec 20 litres 20 x 20 soit 400 km.
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- Pour appliquer un taux de pourcentage.
Un pourcentage est un coefficient de proportionnalité exprimé sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est 100.
Exemple : le pourcentage 25 % se prononce " 25 pour 100 " et s'écrit sous la forme d'une fraction : 25 .
100
Appliquer un pourcentage p% à une quantité c'est multiplier cette quantité par p%.
Exemple : Calculer 15% de 200 c'est calculer : 200 x 15 = 20 x 15 = 2 x 15 = 30
100 10 1
Puique un pourcentage est un coefficient de proportionnalité, on peut utiliser un tableau de proportionnalité.
Exemple : Reprenons l'exemple de 15% de 200.
Le tableau ci-dessous est bien un tableau de proportionnalité :
| 100 | 200 |
| 15 | 30 |
La situation est proportionnelle , le coefficient de proportionnalité est : 15
100